年の途中で引越をした場合の市・県民税の納税先はどこになりますか？

市・県民税は、1月1日現在の住所地で課税されます。
例えば、1月20日に熊谷市から他市へ引越をした場合、1月1日現在は熊谷市に住所がありましたので、市・県民税の納税通知書は、熊谷市から発送され、その納税通知書により、市・県民税を納めていただくことになります。